Soal Latihan Perpangkatan Matriks Persegi

adek-adek telah mempelajari cara menyelesaikan operasi penjumlahan dan pengurangan dua buah matriks pada artikel ini, akan dijelaskan cara  untuk menyelesaikan perpangkatan matriks persegi. 

Perpangkatan Matriks Persegi 

Di Kelas X Anda telah mengenal perpangkatan suatu bilangan ataupun perpangkatan suatu variabel. Perpangkatan adalah perkalian berulang dari

bilangan atau variabel tersebut sebanyak bilangan pangkatnya.Misalkan,

2² = 2 × 2 atau a² = a × a

2³ = 2 × 2 x 2 atau a³ = a × a x a

dan seterusnya. dan seterusnya. Pada matriks pun berlaku aturan seperti itu.

Misalkan A adalah matriks persegi dengan ordo n × n maka bentuk pangkat dari matriks A didefinisikan sebagai berikut.

A² = A × A

A³ = A × A2 = A × A × A

Aⁿ = A × Aⁿ – 1 = A × A × A ... × A

Pembahasan Soal Perpangkatan Matriks

Soal 1

diketahui Matriks A = ${\begin{bmatrix} 4&2\\ 3&1 \end{bmatrix}}$ tentukan A²?.
penyelesaian:
A² = A x A
A² = ${\begin{bmatrix} 4&2\\ 3&1 \end{bmatrix}}$ x ${\begin{bmatrix} 4&2\\ 3&1 \end{bmatrix}}$
A² = ${\begin{bmatrix} 4.4 + 2.3& 4.2 + 2.1\\ 3.4+1.3&3.2+1.1 \end{bmatrix}}$
A² = ${\begin{bmatrix} 16 + 6& 8 + 2\\ 12+3&6+1 \end{bmatrix}}$
A² = ${\begin{bmatrix} 14& 10\\ 15&7 \end{bmatrix}}$

next:

Soal 2

diketahui Matriks B = ${\begin{bmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{bmatrix}}$ tentukan B²?.
penyelesaian:
B² = B x B
B² = ${\begin{bmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{bmatrix}}$ x ${\begin{bmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{bmatrix}}$
B² = ${\begin{bmatrix} 2.2+1.1&2.1+1.2\\ 1.2+2.1&1.1+2.2 \end{bmatrix}}$
B² = ${\begin{bmatrix} 4+1 & 2+2\\ 2+2+3&1+4 \end{bmatrix}}$
B² = ${\begin{bmatrix} 5& 4\\ 4&5 \end{bmatrix}}$

next:

Soal 3

diketahui Matriks A = ${\begin{bmatrix} 3&1\\ 2&2 \end{bmatrix}}$ tentukan A⁻²?.
penyelesaian:
A⁻² = (A x A)⁻¹
A⁻² = (A²)⁻¹
A² = ${\begin{bmatrix} 3&1\\ 2&2 \end{bmatrix}}$ x ${\begin{bmatrix} 3&1\\ 2&2 \end{bmatrix}}$
A² = ${\begin{bmatrix} 3.3+1.2&3.1+1.2\\ 2.3+2.2&2.1+2.2 \end{bmatrix}}$
A² = ${\begin{bmatrix} 9+2 & 3+2\\ 6+4&2+4 \end{bmatrix}}$
A² = ${\begin{bmatrix} 11& 5\\ 10&6 \end{bmatrix}}$
A⁻² = $\frac{1}{ad - bc}$${\begin{bmatrix} d&-c\\ -b&a \end{bmatrix}}$
A⁻² = $\frac{1}{6.11 - 5.10}$${\begin{bmatrix} 6&-5\\ -10&11 \end{bmatrix}}$
A⁻² = $\frac{1}{66 - 50}$${\begin{bmatrix} 6&-5\\ -10&11 \end{bmatrix}}$
A⁻² = $\frac{1}{16}$${\begin{bmatrix} 6&-5\\ -10&11 \end{bmatrix}}$
A⁻² = ${\begin{bmatrix} \frac{6}{16}&\frac{-5}{16}\\ \frac{-10}{16}&\frac{11}{16} \end{bmatrix}}$
A⁻² = ${\begin{bmatrix} \frac{3}{8}&\frac{-5}{16}\\ \frac{-5}{8}&\frac{11}{16} \end{bmatrix}}$

next:

Soal 4

diketahui Matriks A = ${\begin{bmatrix} 4&2\\ 1&1 \end{bmatrix}}$ tentukan P⁻²?.
penyelesaian:
P⁻² = (P x P)⁻¹
P⁻² = (P²)⁻¹
A² = ${\begin{bmatrix} 4&2\\ 1&1 \end{bmatrix}}$ x ${\begin{bmatrix} 4&2\\ 1&1 \end{bmatrix}}$
A² = ${\begin{bmatrix} 4.4+2.1&4.2+2.1\\ 1.4+1.1&1.2+1.1 \end{bmatrix}}$
A² = ${\begin{bmatrix} 16+2 & 8+2\\ 4+1&2+1 \end{bmatrix}}$
A² = ${\begin{bmatrix} 18& 10\\ 5&3 \end{bmatrix}}$
P⁻² = $\frac{1}{ad - bc}$${\begin{bmatrix} d&-c\\ -b&a \end{bmatrix}}$
P⁻² = $\frac{1}{3.18 - 5.10}$${\begin{bmatrix} 3&-10\\ -5&18 \end{bmatrix}}$
P⁻² = $\frac{1}{54 - 50}$${\begin{bmatrix} 3&-10\\ -5&18 \end{bmatrix}}$
P⁻² = $\frac{1}{4}$${\begin{bmatrix} 3&-10\\ -5&18 \end{bmatrix}}$
P⁻² = ${\begin{bmatrix} \frac{3}{4}&\frac{-10}{4}\\ \frac{-5}{4}&\frac{18}{4} \end{bmatrix}}$
P⁻² = ${\begin{bmatrix} \frac{3}{4}&\frac{-5}{2}\\ \frac{-5}{4}&\frac{9}{2} \end{bmatrix}}$

Next:

Soal 5

diketahui Matriks P = ${\begin{bmatrix} 1& 2 &3\\ 4&2&1 \\ 3&2&1 \\\end{bmatrix}}$ tentukan P²?.
penyelesaian:
P² = (P x P)
P² = ${\begin{bmatrix} 1& 2 &3\\ 4&2&1 \\ 3&2&1 \\\end{bmatrix}}$ x ${\begin{bmatrix} 1& 2 &3\\ 4&2&1 \\ 3&2&1 \\\end{bmatrix}}$
P² = ${\begin{bmatrix} 1.1+2.4+3.3& 1.2+2.2+3.2 &1.3+2.1+3.1\\ 4.1+2.4+1.3&4.2+2.2+1.2&4.3+2.1+1.1 \\ 3.1+2.4+1.3&3.2+2.2+1.2&3.3+2.1+1.1 \\\end{bmatrix}}$
P² = ${\begin{bmatrix} 1+8+9& 2+4+6&3+2+3\\ 4+8+3&8+4+2&12+2+1 \\ 3+8+3&6+4+2&9+2+1 \\\end{bmatrix}}$
P² = ${\begin{bmatrix} 18& 12&8\\ 15&14&15 \\ 14&12&12 \\\end{bmatrix}}$

Kembali Halaman Artikel 

Kesamaan Matriks